Rätsel des Tages: Teil 14 - Spiel bis zur 1

Anna und Bert spielen heute ein anderes Spiel. Jemand nennt eine beliebige Zahl, z.B. 3. Danach gelten folgenden Regeln:

• Wenn die Zahl gerade ist, teilt man sie durch 2
• Wenn die Zahl ungerade ist, multipliziert man sie mit 3 und addiert dann 1.

Man hört auf, wenn man die Zahl 1 erreicht.

Bei der 3 würde das bedeuten:
3 ist ungerade, also: 3⋅3+1=10
10 ist gerade, also: 10:2=5
5 ist ungerade, also: 5⋅3+1=16
16 ist gerade, also: 16:2=8
8 ist gerade, also: 8:2=4
4 ist gerade, also: 4:2=2
2 ist gerade, also: 2:2=1
Hier kommt man also in 7 Schritten ans Ziel.

Anna und Bert wollen dies als Wettspiel mit den Zahlen 1-20 spielen. Anna darf Bert eine Zahl geben und Bert darf Anna eine Zahl geben. Anna darf beginnen, Bert darf Anna dafür zuerst eine Zahl geben. Hat Anna die Möglichkeit zu gewinnen?

Lösung:

Bei den Zahlen 18 und 19 braucht man jeweils 20 Schritte, bei allen anderen Zahlen weniger. Da Anna beginnt gewinnt sie also auf jeden Fall, wenn sie Bert eine der beiden Zahlen gibt.
Interessant: Das Problem heißt in der Mathematik auch 3n+1-Problem. Bis heute hat es, trotz vieler Versuche, noch niemand geschafft zu beweisen, dass sich damit jeder Zahl auf die 1 bringen lässt. Mit Computern hat man schon viel getestet, so ist bis zu 100 Millionen die Zahl, die am längsten braucht, die 63.728.127, die 949 Schritte benötigt. Man hat auch schon bewiesen, dass eine Zahl, die nicht irgendwann auf eine vielfaches einer Zweierpotenz fallen sollte, mindestens 35.400 Stationen durchlaufen müsste. Vor ein paar Jahren (neuer Informationen habe ich nicht gefunden) hat man schon jede Startzahl bis zur 19⋅2^58=5,48⋅10^18 getestet. Davon fällt jede Zahl irgendwann auf die 1 zurück. Mit der Wahrscheinlichkeitstheorie konnte man zeigen, dass die Chance, dass eine Zahl gegen unendlich strebt (und damit nie zur 1 wird) gegen 0 geht. Dies ist jedoch kein Beweis, da Zahlen nicht zufällig entstehen.