Rätsel des Tages 25 - Sportturnier

An einem Sportturnier nehmen 8 Mannschaften teil. Dabei spielt jede Mannschaft genau einmal gegen jede andere Mannschaft. Der Sieger des Spieles bekommt zwei Punkte, der Verlierer null. Geht das Spiel unentschieden aus, dann bekommen beide Mannschaften einen Punkt. Am Ende des Turniers stellt sich heraus, dass alle acht Mannschaften eine unterschiedliche Punktzahl erreicht haben und das die zweitbeste Mannschaft ebenso viele Punkte bekommen hat wie die vier schlechtesten
Mannschaften zusammen.
Wie muss das Spiel der drittbesten Mannschaft gegen das Spiel der fünfbesten Mannschaft ausgegangen sein? Begründe deine Antwort.

 

Lösung:

Auch wenn es verblüffend klingt, das Rätsel ist tatsächlich eindeutig lösbar.
Die Mannschaft auf dem ersten Platz kann maximal 14 Punkte haben (wenn sie alle Spiele gewonnen hat). Die zweitbeste Mannschaft kann dann höchstens noch 12 Punkte erreicht haben, denn das Spiel gegen die erstplatzierte Mannschaft muss sie verloren haben, da sonst beide 13 Punkte hätten, was gegen die Aufgabenstellung verstößt.
Die vier schlechtesten Mannschaften hätten ihre niedrigstmögliche Gesamtpunktzahl erreicht, wenn sie jede Spiel gegen die vier besten Mannschaften verloren hätten. Diese Gesamtpunktzahl beträgt dann 0+2+4+6=12 Punkte (In jedem Spiel werden zwei Punkte vergeben, egal ob ein Team gewinnt oder das Spiel unentschieden ausgeht, der genau Ausgang spielt deshalb keine Rolle).
Da die zweibeste Mannschaft eben so viele Punkte wie die vier schlechtesten Mannschaften geholt hat, und die minimale Punktezahl der vier schlechtesten Mannschaften gleich wie die maximale Punktzahl der zweitbesten Mannschaft ist, muss die Gesamtpunktzahl der vier schlechtesten Mannschaften und die erreichte Punktzahl der zweitbesten Mannschaft tatsächlich 12 ergeben. Dies ist nur möglich, wenn die vier schlechtesten Mannschaften alle Spiele gegen die vier besten verloren haben, womit auch die fünftplatzierte Mannschaft gegen die drittplatzierte verloren haben muss.