Rätsel des Tages 36 – Teilbarkeitsregeln

Die Lösung kann man auf der Schul.cloud per Privatnachricht an mich, B. Maier, abgeben.

In der Mathematik steht das Zeichen „!“ für die sogenannte Fakultät. Dabei wird einer Zahl das Produkt aller natürlichen Zahlen (ohne die Null) zugeordnet, die kleiner oder gleich groß wie die ursprüngliche Zahl sind. Ein paar Beispiele zur Veranschaulichung:

  •  5!=5⋅4⋅3⋅2⋅1
  • 11!=11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1

Rechnet man mit Fakultäten, werden die Zahlen ziemlich schnell ziemlich groß. So ist zum Beispiel

           35!=10.333.147.966.386.144.929.6𝑥6.651.337.523.200.000.000


Leider ist in der Rechnung ein Fehler passiert, weshalb eine der Zahlen aus Versehen durch ein x ersetzt wurde.
Eure Aufgabe ist es herauszufinden, welche Zahl das x haben muss, ohne dabei auch nur einzige Multiplikation durchzuführen!

 

Lösung:

Das Ganze ist nicht so schwer, wenn man die Teilbarkeitsregeln kennt.

Ein Teiler der Zahl 35! ist die Zahl 9. Die Quersumme der Zahl muss also durch 9 teilbar sein. Bestimmt man die Quersumme der Zahl ergibt sich: 138+x.

Da x nur die Ziffern 0 bis 9 annehmen kann, muss die Quersumme also durch 9 teilbar werden. Um dies nochmals zu vereinfachen, berechnen wir die Quersumme der Zahl 138+x. Es ergibt sich 1+3+8+𝑥=12+𝑥.

Die nächste Zahl nach der 12, die durch 9 teilbar ist, ist die 18. Daher muss 𝑥=6 sein.